시작하기 전에…

 

안녕하세요 공대생의 오아시스입니다. ^^

이번 시간에 배울 내용은 메쉬해석법(Mesh Analysis)이라는 전기회로 분석 방법입니다.

마디해석법(Nodal Analysis)과 함께 전기회로 분석에서 정말 많이 사용되는 녀석이니 꼭 알아두시기 바랍니다.

 

 

1. 메쉬(Mesh), 그리고 루프(Loop)

 

메쉬해석법이 어려운 내용은 아니지만 사용할 때 헷갈릴 수 있는 부분들이 많이 있습니다.

그렇기 때문에 사소한 개념이라도 확실히 하고 넘어가는게 중요한데요.

우선 메쉬해석법(Mesh Analysis)의 메쉬(Mesh)가 무엇이고 루프(Loop)와는 어떤 차이가 있는지부터 알아봅시다.

 

 

결론부터 말씀드리자면 메쉬(Mesh)는 루프(Loop)의 일종입니다.

즉, 메쉬(Mesh) ⊂ 루프(Loop) 관계입니다.

 

위 그림과 함께 보시면 쉽게 이해하실 수 있을 것입니다.

루프(Loop)는 출발점과 도착점이 같다는 조건 하에 끊어짐 없이 그릴 수 있는 경로를 말합니다.

그림에서 빨간색 경로, 주황색 경로 모두 루프 조건을 만족하므로 루프는 세 개라고 할 수 있습니다.

메쉬(Mesh)는 자신의 안에 다른 루프(Loop)를 포함하지 않는 루프(Loop)를 말합니다.

빨간색 경로는 내부에 주황색 경로 두 개를 포함하기 때문에 메쉬 조건을 만족하지 못하겠죠.

따라서 그림에서 메쉬는 주황색 경로 두 개 뿐입니다.

 

느낌이 좀 오시나요? ^^

메쉬와 루프는 많이들 헷갈려하는 개념이기 때문에 확실히 알아두시는 것이 좋습니다.

어디 가서 루프해석법(Loop Analysis)을 메쉬해석법(Mesh Analysis)이라고 잘못 말하면 부끄러우니까요 ㅠㅠ

메쉬해석법과 루프해석법은 같은 과정을 메쉬로 하느냐 루프로 하느냐의 차이일 뿐이므로 둘 중 하나만 알아도 나머지 하나는 자연스럽게 알 수 있습니다.

여기서는 메쉬해석법에 대해서만 다룰 예정이니 루프해석법에 관심이 있으신 분들은 개인적으로 찾아보시면 됩니다.

아마 바로 이해하실 수 있으실 거에요 ㅎㅎ

 

 

2. 메쉬해석법 (Mesh Analysis)

 

본론인 ‘메쉬해석법(Mesh Analysis)’ 입니다.

메쉬해석법은 말로 설명하면 더 복잡해지니 바로 예시부터 보여드리도록 하겠습니다.

 

 

메쉬해석법을 이용하여 전압 \mathrm{V}_x의 값을 구하는 문제입니다.

가장 먼저 해야할 일은 역시 회로에 메쉬를 그려주는 것인데요.

메쉬는 아래 그림과 같이 그려주시면 됩니다. (일반적으로 모든 메쉬는 시계 방향으로 그립니다.)

(메쉬를 몇 개, 어떻게 그릴지는 문제를 많이 풀어봐야 보이는 것이기 때문에 일단 지금은 그냥 제 설명을 따라와주시기 바랍니다.)

 

 

이렇게 그려진 메쉬는 회로의 각 부분에 흐르는 ‘전류(Current)’를 의미하는데요, 이때 이 ‘각 부분에 흐르는’ 이라는 말에 주의하셔야 합니다.

각 메쉬가 의미하는 것은 회로 중앙의 2Ω 저항에 흐르는 전류만큼을 각각 왼쪽, 오른쪽에서 시계방향으로 돌려준다는 것이 아닙니다.

왼쪽에서는 \mathrm{I_1}, 오른쪽에서는 \mathrm{I_2} 전류가 각각 독립적으로 흐르는데 중앙의 2Ω 저항에서는 두 메쉬가 겹치기 때문에 두 전류가 중첩된 크기의 전류가 2Ω 저항에 흐릅니다.

옴의 법칙 \mathrm{V=IR}로 생각했을 때 전압 \mathrm{V}_x는  \mathrm{I_1\cdot2} 이나 \mathrm{I_2\cdot2} 가 아니라 중첩된 전류 \mathrm{\cdot\:2} 라는 것입니다.

메쉬해석법을 처음 배울 때 가장 많이 헷갈리는 부분이므로 반드시 제대로 이해하고 넘어가시기 바랍니다.

 

회로에 메쉬를 그린 다음에는 각 메쉬에 대한 KVL 식을 세워주면 되는데…

식을 세우기 위해서는 중첩 전류에 대한 기본 지식이 필요합니다.

 

 

그림과 같이 두 전류가 한 선로에서 동시에 흐를 때 결과적으로 이 선로에 흐르는 중첩 전류(보라색 화살표)는 얼마가 될까요?

단순하게 생각하시면 됩니다.

구하고 싶은 중첩 전류와 \mathrm{I_1} 전류의 진행방향이 같은 상태에서 \mathrm{I_2} 전류가 반대 방향으로부터 진행을 방해하는 상황이므로 중첩 전류는 \mathrm{I_1-I_2}가 됩니다.

(방향이 다른 물줄기 두 개가 겹쳐진다고 생각해보세요.)

 

 

만약 구하고 싶은 중첩 전류의 진행 방향을 반대로 잡았다면 방해하는 것은 \mathrm{I_1} 전류가 됩니다.

중첩 전류와 방향이 같은 \mathrm{I_2} 전류 기준에서 방해가 되는 \mathrm{I_1} 전류를 빼주는 것이므로 중첩 전류는 \mathrm{I_2-I_1}가 되겠네요.

사실 이렇게 복잡하게 생각 안해도 크기가 같은 전류가 반대 방향으로 표시 된 것 뿐이므로 \mathrm{-(I_1-I_2)=I_2-I_1}이 됨을 쉽게 알 수 있습니다.

 

그러고보니 \mathrm{I_1} 전류와 \mathrm{I_2} 전류의 진행 방향이 같을 경우에 대해서는 설명드리지 않았는데요.

단순히 두 전류의 크기를 더해준 것이 중첩 전류의 크기가 됩니다. (방향이 같은 물줄기가 만나면 더 센 물줄기가 만들어지겠죠? ^^)

크기를 구한 뒤에는 역시 중첩 전류의 진행 방향에 맞게 부호를 결정해주면 되구요.

딱히 어려운 내용은 아니니 자세한 설명은 생략하도록 하겠습니다.

 

 

중첩 전류를 설명하다보니 말이 길어졌네요. 다시 원래 이야기로 돌아옵시다.

말씀드렸듯이 메쉬를 다 그린 뒤에는 각 메쉬에 대한 KVL(키르히호프의 전압법칙) 식을 세워주면 됩니다.

(KVL이 뭔지 모르시는 분은 없을 것이라고 믿습니다. ^^)

 

\mathrm{-12+I_1\cdot1+V_x=0}

\mathrm{-V_x+I_2\cdot2=0}

 

이때 KVL에서 따지는 것은 ‘전압강하량’ 이기 때문에 중앙 2Ω 저항에서 각각의 메쉬에 해당하는 전류에만 옴의 법칙을 적용하는 것이 아니라 최종 결과인 중첩 전류에 대한 전압 \mathrm{V_x}을 따져주어야 합니다.

그리고 중첩 전류의 방향은 현재 KVL 식을 세우고 있는 메쉬가 어느 방향으로 진행하고 있는지를 보고 판단합니다.

즉, 위 식을 한번 더 풀어쓰면 아래와 같습니다.

 

\mathrm{-12+I_1\cdot1+(I_1-I_2)\cdot2=0}

\mathrm{(I_2-I_1)\cdot2+I_2\cdot2=0}

 

이걸 이해하는 것이 정말정말 제일 중요합니다.

만약 이해가 잘 안되신다면 이전 강의(링크)의 KVL 부분을 참고해주세요.

 

아무튼 이렇게 미지수 두 개에 대한 방정식 두 개가 나왔으니 연립하여 해를 구할 수 있습니다.

계산해보면 \mathrm{I_1}은 6A, \mathrm{I_2}는 3A가 나오네요.

 

이때 구하고자 하는 전압 \mathrm{V_x}와 정방향으로 흐르는 중첩 전류는 \mathrm{I_1-I_2=3A}이므로 옴의 법칙을 이용하면 최종적으로 \mathrm{V_x=3A\cdot2\Omega=6V}임을 알 수 있습니다.

 

답이 나왔네요.

결국 이 과정이 메쉬해석법(Mesh Analysis)입니다.

회로에 메쉬를 그린 다음 각각의 메쉬에 해당되는 KVL 식들을 연립하여 구한 메쉬 전류(Mesh Current)를 가지고 회로를 분석하는 기법이죠.

제가 처음부터 메쉬해석법을 이렇게 설명했다면 이해하기 어려웠겠지만 지금의 여러분들이라면 아마 이해하실 수 있을 것입니다 ㅎㅎ.

 

 

3. 초메쉬 / 슈퍼메쉬 (Supermesh)

 

위 과정처럼 모든게 착착 구해지면 참 좋겠지만… 세상은 그렇게 만만하지 않습니다.

아래 그림을 한번 볼까요?

 

 

각 메쉬에 해당되는 전류를 구하기 위해서는 KVL 식을 세워야 하는데 \mathrm{I_1}, \mathrm{I_3} 메쉬 사이에 끼어있는 전류원의 전압강하량을 알 수 없기 때문에 식을 세우기 곤란합니다.

 

이처럼 전류원에 의해 KVL 식을 세우기 힘들 때 그 부분을 피해가기 위해 사용하는 방법이 바로 슈퍼메쉬(Supermesh)인데요.

어려울 것 없이 말 그대로 전류원을 피해서 두 메쉬를 크게 묶어주면 됩니다.

 

 

이렇게 두 메쉬를 묶어준 것을 슈퍼메쉬(Supermesh)라고 하며, 이 상태로 KVL 식을 세워주면 각 메쉬에 대한 전류값을 모두 구할 수 있습니다.

다만 KVL 식을 세울 때 각 부분에 대한 전류를 적용하여야 한다는 것이 중요한데 이는 그림으로 설명하겠습니다.

 

 

보시는 바와 같이 슈퍼메쉬(Supermesh) 경로 상에서 항상 같은 양의 전류가 흐르는 것이 아니기 때문에 각 부분별로 전류값을 달리하여 옴의 법칙을 적용해주어야 합니다.

 

긴 말 말고 바로 KVL 식을 세워보죠.

식은 총 두개가 나와야합니다. \mathrm{I_2}메쉬와 슈퍼메쉬(Supermesh)입니다.

 

우선 \mathrm{I_2}메쉬에 대한 KVL 식은 아래와 같습니다.

(그림에서 색깔 선 두개가 붙어있는 곳이 중첩 전류가 적용되는 부분입니다.)

 

\mathrm{-1+(I_2-I_1)\cdot1+(I_2-I_3)\cdot1=0}

 

다음으로 슈퍼메쉬(Supermesh)에 대한 KVL 식입니다.

 

\mathrm{(I_1-I_2)\cdot1+I_1\cdot1+(I_3-I_2)\cdot1=0}

 

식과 그림을 번갈아가며 보시다보면 이해하실 수 있을 것입니다.

경로 자체는 슈퍼메쉬(Supermesh)를 따라서 돌되, 빨간 영역에서는 \mathrm{I_1} 전류를, 초록 영역에서는 \mathrm{I_3} 전류를 기준으로 옴의 법칙이 적용되어 있습니다.

위에서 말씀드렸던 각 부분별로 전류값을 달리한다는 말의 의미는 이와 같습니다.

 

아무튼 이렇게 식이 두 개가 나왔는데 미지수는 세 개(전류가 세 개)이므로 아직 식이 하나 부족합니다.

KVL 식도 다 세웠는데 대체 뭘 이용해서 관계식을 하나 더 세울 수 있을까요?

해답은 바로 제쳐두었던 전류원에 있습니다.

 

 

회로를 잘 보면 \mathrm{I_1} 전류와 \mathrm{I_3} 전류가 중첩되는 곳에 1A 전류원이 위치해있기 때문에 중첩 전류를 계산하면 아래의 관계식을 얻을 수 있습니다.

 

\mathrm{I_3-I_1=1}

 

이때 1V 전압원의 영향에 의해 발생한 전류가 1A 전류원 쪽으로 흘러들어가서 1A가 아니게 되는 것 아니냐 라는 의문을 가질 수도 있는데요.

1A 전류원이 가지는 의미는 ‘어떤 일이 있어도 내가 있는 부분에 흐르는 전류는 1A이다’ 이기 때문에 전압원을 신경쓰실 필요가 없습니다.

(비슷한 이유로 1V 전압원은 어떤 일이 있어도 자신의 양 끝에 1V의 전위차를 발생시킵니다. ^^)

 

얘기가 길어졌네요. 아무튼 모든 준비는 끝났습니다.

미지수 세 개에 방정식 세 개가 완성되었으므로 연립하면 \mathrm{I_1}, \mathrm{I_2}, \mathrm{I_3}의 값을 구할 수 있습니다.

 

\mathrm{-1+(I_2-I_1)\cdot1+(I_2-I_3)\cdot1=0}

\mathrm{(I_1-I_2)\cdot1+I_1\cdot1+(I_3-I_2)\cdot1=0}

\mathrm{I_3-I_1=1}

 

계산하면 \mathrm{I_1}은 1A, \mathrm{I_2}는 2A, \mathrm{I_3}은 2A가 되겠네요.

 

 

마치며…

 

이렇게 메쉬해석법(Mesh Analysis)과 슈퍼메쉬(Supermesh)를 이용한 전기회로 분석 방법을 모두 알아보았습니다.

한 번 이해가 되면 쉬운 내용인데 추상적인 부분이 많아서 어떻게 해야 쉬운 설명이 될지 고민하느라 애먹었네요 ^^;

위에서도 말씀드렸지만 메쉬해석법을 자유자재로 구사하기 위해서는 최대한 많은 문제를 풀어보는 것 이외에는 방법이 없습니다.

부디 오늘 배운 내용을 이용하여 많은 연습을 거듭하시길 바랍니다.

정말 긴 글 읽어주셔서 감사합니다. 공대생의 오아시스였습니다. ^^