시작하기 전에…

 

안녕하세요 공대생의 오아시스입니다. ^^

이번 시간에 배울 것은 마디해석법(Nodal Analysis)이라는 전기회로 분석 방법인데요.

앞으로 정말 많이 쓰이게 될 녀석이니 이번 기회를 통해 확실하게 알고 넘어가시는 것이 좋습니다.

 

 

1. 전압을 보는 관점

 

사실 마디해석법이라는 것이 무언가를 새로 배워야 하는 것은 아닙니다.

이미 너무나 잘 알고 계시는 옴의 법칙, 키르히호프의 전류법칙(KCL) 이 두 가지만 잘 사용할줄 알면 끝입니다.

 

다만 그 전에 전압을 좀 더 엄밀하게 볼 줄 알아야 하는데요.

뭐 크게 어려운 건 아니고 관점의 차이라고 할 수 있습니다.

 

 

위 사진에서 세 저항의 크기가 모두 R로 같다고 할때, 세 저항에 흐르는 전류의 크기 또한 I = 2/R로 모두 같다는 것이 이해되시나요?

세 저항 모두 위쪽이 더 높은 전위를 가진 상태로 2V의 전압(전위차)이 걸려있기 때문에 옴의 법칙만을 이용해서는 세 회로를 구분할 수는 없습니다.

그렇다고 세 회로가 모두 같은 것이냐 하면 그건 또 아닙니다.

저항 양단의 전위가 다 다르거든요.

 

결국 이걸 어떻게 표시하느냐에 차이가 있는건데요.

기능적인 관점에서 전압 정보만 표시한 것이 가장 왼쪽이고, 저항 양단의 전위를 표시해줌으로써 전압의 정보까지 함축하는 것이 나머지 둘입니다.

 

말이 좀 어려웠나요? ^^;

이해를 돕기위해 위 회로들을 아래와 같이 표현해보았습니다. (순서는 똑같습니다.)

 

 

세 경우 모두 동일한 ‘빨간 미끄럼틀’을 사용한다고 가정해봅시다.

가장 왼쪽의 미끄럼틀은 어디에도 설치되지 않은 상태로, 그저 미끄럼틀의 높이, 즉 기능적인 부분에만 초점을 맞추어 ‘높이가 2m인 미끄럼틀’ 이라고 표현되고 있습니다.

나머지 두 경우, 같은 미끄럼틀을 사용하기 때문에 기능은 동일하지만 각각 다른 위치에 설치되어 있으며, XX 와 OO 사이에 설치되어있다는 표현을 사용합니다.

이 표현은 설치 위치라는 추가 정보를 제공함과 동시에 미끄럼틀의 높이 또한 함축하고 있기 때문에 첫번째 표현을 더 자세하게 나타낸 것이라고 할 수 있습니다.

 

이때 세 미끄럼틀을 모두 ‘높이가 2m인 미끄럼틀’ 이라고 표현해도 틀린말은 아닌 것 처럼 첫번째 표현이 틀렸다는 건 아닙니다.

다만 마디해석법에서 주목해야 할 것은 두 번째 표현방식이며, 그게 마디해석법의 전부라고 감히 말씀드리고 싶습니다.

어떤 지점에 그 지점의 전위(전압)를 표시한다는 느낌만 잘 받아들이시면 이후로는 어려울게 아무것도 없습니다.

이게 무슨 소리인지는 아래 단계에서 자세히 알아보도록 하죠. ^^

 

 

2. 마디해석법 (Nodal Analysis)

 

 

마디해석법이라는 것은 결국 각 노드에 전압을 표시하여 회로를 분석하는 기법입니다.

따라서 마디해석법을 잘 사용하기 위해서는 우선 전압을 위 그림과 같이 표현하는 방식에 익숙해지셔야 합니다.

백문이불여일견이라고 했습니다. 직접 한번 해보죠.

 

 

첫걸음으로는 허들이 좀 높을지도 모르지만 위 회로에서 1kΩ 저항에 걸리는 전압 \mathrm{V_o}를 구해봅시다.

(마디해석법을 여기서 처음 배우는 것이라면 어떻게 풀어야할지 감도 안잡히는게 정상이니 걱정하지 않으셔도 됩니다.)

 

가장 먼저 해야할 일은 전압의 기준점을 잡아주는 것입니다.

지금은 회로에 접지(GND) 표시가 따로 없으므로 가장 편하게 분석할 수 있을 것 같은 자리에 접지를 놔주면 됩니다.

그러면 접지를 놓은 순간부터 그 지점은 0V의 전압을 가집니다.

(회로에 접지가 이미 있다면 그 지점을 0V로 잡으면 됩니다.)

 

접지의 위치가 정해졌다면 다음으로 할 일은 그 지점을 기준(0V)으로 각 노드에 전압을 표시해주는 것입니다.

노드의 전압이 몇 인지 모르겠다면 일단 \mathrm{V_A, V_B} 같은 변수로 두시면 됩니다.

 

뭐… 근데 말로만 들어서는 무슨 소리인지 잘 모르겠죠? 당연합니다. ^^;

일단 위의 두 과정을 거친 회로의 모습을 아래 사진으로 확인하시죠.

 

 

접지는 그냥 제 마음대로 편해보이는 곳에 두었고 그 지점을 기준(0V)으로 나머지 노드의 전압을 표시해주었습니다.

음… 일단 제 설명을 듣기 전에 개인적으로 한번 왜 그렇게 되는지 이해하려고 해보세요.

 

충분히 생각해보셨나요? 그럼 설명 시작하겠습니다. ^^

1) 가는 길에 저항, 전압원등의 요소를 만나지 않는 이상 전압이 변하는 일은 없으므로 아래 세 노드의 전압은 모두 0V입니다.

2) 1kΩ 저항에 걸리는 전압이 \mathrm{V_o}라는 것은 이미 알고 있으므로 1kΩ 저항 위 노드의 전압은 \mathrm{V_o}가 됩니다. (+ 표시가 위쪽에 있으니 아래쪽보다 위쪽의 전위가 높은데 아래 노드의 전위가 0V이니까요.)

3) \mathrm{V_A}는 변수이고 12V 전압원은 양단에 12V 만큼의 전위차를 만들어주므로 그 왼쪽의 노드는 \mathrm{V_A-12V}가 됩니다. 만약 전압원의 +, – 표시가 반대였다면 \mathrm{V_A+12V}가 됐겠죠? ^^

 

여기서 더 자세하게 설명하면 글이 너무 길어지므로 다음 단계로 넘어가겠습니다.

 

노드의 전압을 모두 표시하였다면 남은 건 옴의 법칙과 KCL을 이용하는 것 뿐입니다.

 

 

전류원을 통해 뻔히 알 수 있는 전류를 제외한 나머지 전류들을 옴의 법칙을 이용하여 표시해주었습니다.

옴의 법칙 \mathrm{I=V/R}에서 V 만 출발노드 전압 – 도착노드 전압 (∵전위차 = 전압) 형식으로 바꿔준 것 뿐입니다.

12V 전압원을 지나는 전류는 알 수가 없으므로 \mathrm{I_A}로 둡니다.

 

이렇게 구한 전류들을 이용하여 초록색으로 표시한 각 노드에서 열심히 KCL식을 세우고

 

\mathrm{-8mA+2mA+I_A+\frac{V_A-12V}{3k\Omega}=0}

\mathrm{\frac{V_A}{6k\Omega}+\frac{V_A-V_O}{2k\Omega}-I_A=0}

\mathrm{\frac{V_O}{1k\Omega}+\frac{V_O-V_A}{2k\Omega}-2mA=0}

 

\mathrm{V_O}에 대해서 계산하면… (중간과정에서 \mathrm{I_A}는 소거되면서 쓸모없어진다는 것을 기억하세요)

 

\mathrm{V_O=5.6V}

 

이와 같이 \mathrm{V_O=5.6V}임을 알 수 있습니다.

 

확실히 첫 문제치고 쉬운 문제는 아니지만 여러가지 상황을 생각해볼 수 있는 좋은 문제입니다.

이 문제를 온전히 자신의 힘으로 풀 수 있을 정도가 된다면 진정으로 마디해석법을 이해한 것이라고 할 수 있습니다.

반드시 이 문제를 자신의 것으로 만들기 바랍니다.

 

 

3. 초마디 / 슈퍼노드 (Supernode)

 

 

아까 \mathrm{I_A}는 소거되면서 쓸모없어진다는 것을 기억하라고 말씀드렸는데… 기억하시나요? ^^

어차피 중간과정에서 없어질 놈이고 굳이 값을 구할 필요도 없는데 처음부터 없애버릴 수 있는 방법이 있다면 매우 편리할 것입니다.

다행히도 그 방법이 있는데요, 바로 슈퍼노드(Supernode)입니다.

 

슈퍼노드를 한 문장으로 정리하자면 ‘사이에 있는 것을 뭉개버리는 기술’ 이라고 할 수 있습니다.

다음과 같이 두 노드에서 KCL 식을 세우고 싶은데 사이에 전압원이 끼어있는 경우를 생각해봅시다.

 

 

사이에 전압원이 끼어있으면 양 끝 노드의 전압을 알고 있어도 옴의 법칙을 적용할 수 없기 때문에 전류를 쉽게 구할수가 없습니다.

쉽게 말해 KCL 식을 세우기가 까다로워진다는 것이죠.

그래서 원래대로라면 전압원에 흐르는 전류변수 I를 두고 식을 두개 세운 뒤 I를 따로 소거해줘야 했지만… 슈퍼노드를 사용하면 그럴 필요가 없습니다.

 

 

당장은 의심이 되겠지만… 그림과 같이 두 노드와 그 사이의 전압원을 싸그리 묶어서 ‘하나의 노드처럼’ 생각하여도 KCL이 성립합니다.

즉 A + B + C + D + E + F = 0 이 성립합니다.

 

이렇게 두 노드와 그 사이를 하나의 노드로 퉁친 것을 슈퍼노드라고 하는데요.

보통 사이에 전압원이 있는 경우, 즉 사이에 흐르는 전류를 알기 힘들 때 주로 사용합니다.

사용 자체는 사이에 전류원이 있건 저항이 있건 상관없이 가능하지만 그 두 경우에는 굳이 슈퍼노드를 사용할 필요 없이 전류를 구해주면 되니까요 ㅎㅎ.

 

이제 슈퍼노드가 뭔지 알았으니 원리도 함께 알아두는게 좋겠죠?

 

 

우선 기본에 충실하게 전압원에 흐르는 전류를 미지수 X로 놓고 두 노드에 대한 KCL 식을 각각 세웁니다.

 

\mathrm{X=-A-B-C}

\mathrm{X=D+E+F}

 

그리고 두 식을 연립하여 X를 소거하면 위에서 봤던 그 식이 나옵니다. 정말로 성립하네요 ^^.

 

\mathrm{A+B+C+D+E+F=0}

 

잘 생각해보면 깨달으시겠지만 두 노드는 X라는 같은 전류를 공유하기 때문에 애초에 X는 연립하면 사라질 수 밖에 없는 운명입니다.

즉 사이에 흐르는 전류 X가 얼마나 되든 상관없이 두 노드의 외부에서 흐르는 전류들의 관계는 항상 성립하는 것입니다.

대충 느낌이 오시죠? ㅎㅎ… 그정도면 됐습니다 어차피 계속 쓰다보면 모든게 꿰어지는 느낌이 들면서 완벽히 이해하는 날이 반드시 오니까요.

 

자 개념 설명은 여기까지 하도록 하고, 아까 문제를 슈퍼노드를 이용하여 풀어보면서 강의를 마무리하겠습니다.

 

 

전압원 양쪽 노드를 하나의 슈퍼노드로 묶은 뒤 KCL을 적용합니다.

 

\mathrm{-8mA+2mA+\frac{V_A-12V}{3k\Omega}+\frac{V_A}{6k\Omega}+\frac{V_A-V_O}{2k\Omega}=0}

\mathrm{\frac{V_O}{1k\Omega}+\frac{V_O-V_A}{2k\Omega}-2mA=0}

 

미지수 두 개에 방정식 두 개가 나왔으므로 해를 구할 수 있습니다. (미지수와 방정식 개수를 항상 확인하세요)

계산해보면 \mathrm{V_O=5.6V}로 앞서 풀었을 때와 같은 결과가 나왔습니다.

제대로 풀었다는 증거겠죠 ㅎㅎ.

 

 

마치며…

 

글이 좀 길어지긴 했지만 마디해석법에 대한 내용을 무사히 한 글에 담아낼 수 있었네요.

구체적인 설명보다 사실 및 결과 나열에 중점을 두었다면 글은 좀 짧아졌겠지만 도저히 그럴 수가 없었습니다.

그만큼 오늘 배운 내용이 중요합니다.

제 부족한 필력때문에 제대로 도움이 되셨을지는 모르겠지만 ‘이해’를 목표로 최대한 노력했습니다.

부디 이 글이 독자분들의 탄탄한 기본기가 되어 앞날에 도움되기를 바랍니다.

긴 글 읽어주셔서 정말 감사드립니다. 지금까지 공대생의 오아시스였습니다. ^^